Математический анализ Примеры

$\ln (5) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x + 3) - 3 \ln (1 + \sqrt{x})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{2} \ln (x + 3)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln (5) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - 3 \ln (1 + \sqrt{x})$

Этап 1.2

Упростим $- 3 \ln (1 + \sqrt{x})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln (5) + \ln ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) - \ln ({(1 + \sqrt{x})}^{3})$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + \sqrt{x})}^{3}})$

Этап 4

Воспользуемся бином Ньютона.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1^{3} + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Этап 5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \cdot 1^{2} \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Этап 5.2

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \cdot 1 \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Этап 5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 \cdot 1 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Этап 5.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 {\sqrt{x}}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Этап 5.5

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Этап 5.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Этап 5.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Этап 5.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Этап 5.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x^{1} + {\sqrt{x}}^{3}})$

Этап 5.5.5

Упростим.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + {\sqrt{x}}^{3}})$

Этап 5.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{3}$ в виде $\sqrt{x^{3}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + \sqrt{x^{3}}})$

Этап 5.7

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + \sqrt{x^{2} x}})$

Этап 5.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 \sqrt{x} + 3 x + x \sqrt{x}})$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x \sqrt{x}})$

Этап 6.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x \cdot x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{1} x^{\frac{1}{2}}})$

Этап 6.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{1 + \frac{1}{2}}})$

Этап 6.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Этап 6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Этап 6.3.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 3 x^{\frac{1}{2}} + 3 x + x^{\frac{3}{2}}})$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Этап 6.5

Перепишем $3 x + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $3 x^{\frac{1}{2}}$ из $3 x + 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Вынесем множитель $3 x^{\frac{1}{2}}$ из $3 x$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Этап 6.5.1.2

Вынесем множитель $3 x^{\frac{1}{2}}$ из $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} (1) + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Этап 6.5.1.3

Вынесем множитель $3 x^{\frac{1}{2}}$ из $3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 x^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + x^{\frac{3}{2}} + 1})$

Этап 6.5.2

Перепишем $x^{\frac{3}{2}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{3}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1})$

Этап 6.5.3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} + 1^{3}})$

Этап 6.5.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x^{\frac{1}{2}}$ и $b = 1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Этап 6.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Этап 6.5.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Этап 6.5.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x^{1} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Этап 6.5.5.2

Упростим.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 1^{2})})$

Этап 6.5.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1^{2})})$

Этап 6.5.5.4

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Этап 6.5.6

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} + 1$ из $3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} + 1$ из $3 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Этап 6.5.6.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} + 1$ из $(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} + 1) (x - x^{\frac{1}{2}} + 1)$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (3 x^{\frac{1}{2}} + x - x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Этап 6.5.7

Вычтем $x^{\frac{1}{2}}$ из $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Этап 6.5.8

Перепишем $x$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + 1)})$

Этап 6.5.9

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 u + 1)})$

Этап 6.5.10

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.10.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 u + 1^{2})})$

Этап 6.5.10.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 6.5.10.3

Перепишем многочлен.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})})$

Этап 6.5.10.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) {(u + 1)}^{2}})$

Этап 6.5.11

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}})$

Этап 7

Умножим $x^{\frac{1}{2}} + 1$ на ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}} + 1$ на ${(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $x^{\frac{1}{2}} + 1$ в степень $1$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}})$

Этап 7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{1 + 2}})$

Этап 7.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln (\frac{5 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{3}})$