Математический анализ Примеры

$\log_{a} (\sqrt[4]{\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}}}$ в виде ${(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{a} ({(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}})$

Этап 2

Развернем $\log_{a} ({(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}})$ , вынося $\frac{1}{4}$ из логарифма.

$\frac{1}{4} \log_{a} (\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})$

Этап 3

Перепишем $\log_{a} (\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})$ в виде $\log_{a} (m^{8} n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{a} (m^{8} n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Этап 4

Перепишем $\log_{a} (m^{8} n^{12})$ в виде $\log_{a} (m^{8}) + \log_{a} (n^{12})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{a} (m^{8}) + \log_{a} (n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Этап 5

Развернем $\log_{a} (m^{8})$ , вынося $8$ из логарифма.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + \log_{a} (n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Этап 6

Развернем $\log_{a} (n^{12})$ , вынося $12$ из логарифма.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Этап 7

Перепишем $\log_{a} (a^{3} b^{5})$ в виде $\log_{a} (a^{3}) + \log_{a} (b^{5})$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (\log_{a} (a^{3}) + \log_{a} (b^{5})))$

Этап 8

Развернем $\log_{a} (a^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \log_{a} (a) + \log_{a} (b^{5})))$

Этап 9

Развернем $\log_{a} (b^{5})$ , вынося $5$ из логарифма.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \log_{a} (a) + 5 \log_{a} (b)))$

Этап 10

Логарифм $a$ по основанию $a$ равен $1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \cdot 1 + 5 \log_{a} (b)))$

Этап 11

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 + 5 \log_{a} (b)))$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 1 \cdot 3 - (5 \log_{a} (b)))$

Этап 12.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 3 - (5 \log_{a} (b)))$

Этап 12.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 3 - 5 \log_{a} (b))$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m)) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 \log_{a} (m)$ .

$\frac{1}{4} (4 (2 \log_{a} (m))) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Этап 14.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (4 (2 \log_{a} (m))) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Этап 14.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Этап 14.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12 \log_{a} (n)$ .

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (4 (3 \log_{a} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Этап 14.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (4 (3 \log_{a} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Этап 14.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Этап 14.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 3$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Этап 14.4

Умножим $\frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{4}$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{- 5}{4} \log_{a} (b)$

Этап 14.4.2

Объединим $\frac{- 5}{4}$ и $\log_{a} (b)$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{- 5 \log_{a} (b)}{4}$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) - \frac{3}{4} + \frac{- 5 \log_{a} (b)}{4}$

Этап 15.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) - \frac{3}{4} - \frac{5 \log_{a} (b)}{4}$