Математический анализ Примеры

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \csc^{2} (\frac{1}{3} x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $f (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (\frac{1}{3} x) d x$

Этап 3

Пусть $u = \frac{1}{3} x$ . Тогда $d u = \frac{1}{3} d x$ , следовательно $3 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \frac{1}{3} x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{3} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$

Этап 3.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Этап 4.3

Перенесем $3$ влево от $\csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Этап 6.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \csc^{2} (u) d u$

Этап 6.3

Умножим $\int \csc^{2} (u) d u$ на $1$ .

$\int \csc^{2} (u) d u$

Этап 7

Поскольку производная $- \cot (u)$ равна $\csc^{2} (u)$ , интеграл $\csc^{2} (u)$ равен $- \cot (u)$ .

$- \cot (u) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{3} x$ .

$- \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Этап 9

Функция $f$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f (x) = - \cot (\frac{1}{3} x) + C$