Математический анализ Примеры

$f' (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $f (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Этап 2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 3.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$6 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$6 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $6 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$6 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 5.2

Умножим $6$ на $2$ .

$12 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 6

Функция $f$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f (x) = 12 x^{\frac{1}{2}} + C$