Математический анализ Примеры

$f' (x) = 1 + 3 \sqrt{x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $f (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int 3 \sqrt{x} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int 3 \sqrt{x} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$x + C + 3 \int \sqrt{x} d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + C + 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x + C + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$x + 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$x + \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x + \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7.2.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8

Функция $f$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f (x) = x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C$