Математический анализ Примеры

$f'' (t) = \frac{3}{\sqrt{t}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $f' (t)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f'' (t)$ .

$f' (t) = \int f'' (t) d t$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 3.2

Вынесем $t^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Этап 3.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$3 \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Этап 3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$ .

$3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$6 t^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 6

Функция $f'$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f' (t) = 6 t^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7

Чтобы найти функцию $f (t)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f' (t)$ .

$f (t) = \int f' (t) d t$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

Этап 9

Поскольку $6$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

Этап 10

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int C d t$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + C t + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + C t + C$

Этап 12.2

Упростим.

$4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$

Этап 13

Функция $f$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f (t) = 4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$