Математический анализ Примеры

$\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - x^{3} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} - x^{3} + 2 x}{x^{4}} d x$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + 2 x}{x^{4}} d x$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4}} d x$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x^{4}} d x$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x (x^{4} - x^{2} + 2)}{x \cdot x^{3}} d x$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{x^{4} - x^{2} + 2}{x^{3}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int (x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3} d x$

Этап 6

Развернем $(x^{4} - x^{2} + 2) x^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{4} - x^{2}) x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{4} x^{- 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Этап 6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{4 - 3} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Этап 6.4

Вычтем $3$ из $4$ .

$\int x^{1} - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Этап 6.5

Упростим.

$\int x - x^{2} x^{- 3} + 2 x^{- 3} d x$

Этап 6.6

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int x - (x^{2} x^{- 3}) + 2 x^{- 3} d x$

Этап 6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x - x^{2 - 3} + 2 x^{- 3} d x$

Этап 6.8

Вычтем $3$ из $2$ .

$\int x - x^{- 1} + 2 x^{- 3} d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 1} d x + \int 2 x^{- 3} d x$

Этап 10

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + \int 2 x^{- 3} d x$

Этап 11

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 \int x^{- 3} d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 13.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\ln (| x |) + C) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 13.2

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - 2 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 13.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 2}{2 x^{2}} + C$

Этап 13.3.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 13.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{2})} + C$

Этап 13.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{2}} + C$

Этап 13.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + \frac{- 1}{x^{2}} + C$

Этап 13.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{5} - x^{3} + 2 x}{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) - \frac{1}{x^{2}} + C$