Математический анализ Примеры

$- 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$

Этап 1

Запишем $- 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$ в виде функции.

$f (x) = - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 2 x^{- 3} d x + \int 20 x^{- 5} d x$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int x^{- 3} d x + \int 20 x^{- 5} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

Этап 7.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

Этап 8

Поскольку $20$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $20$ из-под знака интеграла.

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 \int x^{- 5} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $x^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Этап 10.1.2

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Этап 10.2

Упростим.

$- \frac{- 1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Этап 10.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Этап 10.3.3

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Этап 10.3.4

Умножим $- 1$ на $20$ .

$\frac{1}{x^{2}} - 20 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Этап 10.3.5

Объединим $- 20$ и $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- 20}{4 x^{4}} + C$

Этап 10.3.6

Сократим общий множитель $- 20$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 20$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{4}} + C$

Этап 10.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 (x^{4})} + C$

Этап 10.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{4}} + C$

Этап 10.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{4}} + C$

Этап 10.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{4}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{4}} + C$