Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{2} + 4}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x^{2} + 4}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $4$ .

$\int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Этап 4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$ в виде $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$