Математический анализ Примеры

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ в виде $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$\int (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Этап 4.2

Развернем $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.1.4

Умножим $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Этап 4.3.1.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Этап 4.3.1.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Этап 4.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Этап 4.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\int x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 8.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 8.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{- 2} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C - x^{- 1} + C$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$