Математический анализ Примеры

$R' (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $R (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $R' (x)$ .

$R (x) = \int R' (x) d x$

Этап 2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 3

Пусть $u = x^{2} + 27000$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x^{2} + 27000$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 27000$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 27000]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 27000$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [27000]$

Этап 3.1.4

Поскольку $27000$ является константой относительно $x$ , производная $27000$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int u^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{2} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $u^{- \frac{2}{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{u^{- \frac{2}{3}}}{2} d u$

Этап 4.2

Перенесем $u^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Этап 6.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Этап 6.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Этап 6.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Этап 6.1.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Этап 6.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем $u^{\frac{2}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Этап 6.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Этап 6.2.2.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Этап 6.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Этап 6.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{2}{3}}$ по $u$ имеет вид $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ в виде $2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 u^{\frac{1}{3}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 27000$ .

$6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

Этап 10

Функция $R$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$R (x) = 6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$