Математический анализ Примеры

$s' (t) = t {(t - 1)}^{2}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $s (t)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $s' (t)$ .

$s (t) = \int s' (t) d t$

Этап 2

Пусть $u = t - 1$ . Тогда $d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = t - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (u + 1) u^{2} d u$

Этап 3

Развернем $(u + 1) u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot u^{2} + 1 u^{2} d u$

Этап 3.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{2} + 1 u^{2} d u$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + 2} + 1 u^{2} d u$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\int u^{3} + 1 u^{2} d u$

Этап 3.5

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{3} d u + \int u^{2} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $t - 1$ .

$\frac{1}{4} {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} {(t - 1)}^{3} + C$

Этап 9

Функция $s$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$s (t) = \frac{1}{4} \cdot {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(t - 1)}^{3} + C$