Математический анализ Примеры

$f'' (x) = 6 + \cos (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $f' (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 d x + \int \cos (x) d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 x + C + \int \cos (x) d x$

Этап 4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$6 x + C + \sin (x) + C$

Этап 5

Упростим.

$6 x + \sin (x) + C$

Этап 6

Функция $f'$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f' (x) = 6 x + \sin (x) + C$

Этап 7

Чтобы найти функцию $f (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 x d x + \int \sin (x) d x + \int C d x$

Этап 9

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int x d x + \int \sin (x) d x + \int C d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \sin (x) d x + \int C d x$

Этап 11

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \cos (x) + C + \int C d x$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \cos (x) + C + \int C d x$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \cos (x) + C + C x + C$

Этап 14

Упростим.

$3 x^{2} - \cos (x) + C x + C$

Этап 15

Функция $f$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f (x) = 3 x^{2} - \cos (x) + C x + C$