Математический анализ Примеры

$f'' (x) = 8 x + \sin (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $f' (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 8 x d x + \int \sin (x) d x$

Этап 3

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int x d x + \int \sin (x) d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \sin (x) d x$

Этап 5

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \cos (x) + C$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$8 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \cos (x) + C$

Этап 6.2

Упростим.

$4 x^{2} - \cos (x) + C$

Этап 7

Функция $f'$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f' (x) = 4 x^{2} - \cos (x) + C$

Этап 8

Чтобы найти функцию $f (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Этап 10

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \cos (x) d x + \int C d x$

Этап 13

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + \int C d x$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

Этап 15.2

Упростим.

$\frac{4 x^{3}}{3} - \sin (x) + C x + C$

Этап 15.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{3} x^{3} - \sin (x) + C x + C$

Этап 16

Функция $f$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - \sin (x) + C x + C$