Математический анализ Примеры

$x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$

Этап 1

Запишем $x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$ в виде функции.

$f (x) = x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{6} - \frac{1}{x^{6}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{6} d x + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - \frac{1}{x^{6}} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int \frac{1}{x^{6}} d x$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем $x^{6}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

Этап 7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{6 \cdot - 1} d x$

Этап 7.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{- 6} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 6}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $x^{- 5}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{x^{- 5}}{5} + C)$

Этап 9.1.2

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - (- \frac{1}{5 x^{5}} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$\frac{1}{7} x^{7} - - \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + 1 \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{1}{5 x^{5}}$ на $1$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{6} - \frac{1}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} x^{7} + \frac{1}{5 x^{5}} + C$