Математический анализ Примеры

$12 x {(x^{2} + 3)}^{5}$

Этап 1

Запишем $12 x {(x^{2} + 3)}^{5}$ в виде функции.

$f (x) = 12 x {(x^{2} + 3)}^{5}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 12 x {(x^{2} + 3)}^{5} d x$

Этап 4

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int x {(x^{2} + 3)}^{5} d x$

Этап 5

Пусть $u = x^{2} + 3$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x^{2} + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$12 \int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Этап 6

Объединим $u^{5}$ и $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{u^{5}}{2} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{2} \int u^{5} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $12$ .

$\frac{12}{2} \int u^{5} d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u^{5} d u$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u^{5} d u$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u^{5} d u$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1} \int u^{5} d u$

Этап 8.2.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6 \int u^{5} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ в виде $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ .

$6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Этап 10.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{6} + C$

Этап 10.2.3

Умножим $u^{6}$ на $1$ .

$u^{6} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

${(x^{2} + 3)}^{6} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 12 x {(x^{2} + 3)}^{5}$ .

$F (x) =$ ${(x^{2} + 3)}^{6} + C$