Математический анализ Примеры

$\frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 π}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 4

Поскольку $2 π$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 π$ из-под знака интеграла.

$2 π \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 5

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$2 π \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 6

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$2 π (\tan (x) + C)$

Этап 7

Упростим.

$2 π \tan (x) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 π}{\cos^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $2 π \tan (x) + C$