Математический анализ Примеры

$\frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 1

Запишем $\frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$3 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Этап 5.2

Вынесем $x^{\frac{2}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 \int {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Этап 5.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C)$ в виде $3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C$ .

$3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C$

Этап 7.2

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{\frac{1}{3}} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $9 x^{\frac{1}{3}} + C$