Математический анализ Примеры

$\frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 6.2

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + \int - 4 \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 \int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

Этап 9

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 \int x^{\frac{2}{3}} d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

$4 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $4$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 11.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 11.2.3

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 11.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 11.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 11.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{1} x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 11.2.3.2.4

Разделим $6$ на $1$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} - 4 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 11.2.4

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{5}$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 4 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 11.2.5

Умножим $- 4$ на $3$ .

$6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{4}{\sqrt[3]{x}} - 4 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $6 x^{\frac{2}{3}} - \frac{12}{5} x^{\frac{5}{3}} + C$