Математический анализ Примеры

$\frac{6}{5} \cdot \sqrt[5]{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{6}{5} \cdot \sqrt[5]{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{6}{5} \cdot \sqrt[5]{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{6}{5} \cdot \sqrt[5]{x} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{6}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{6}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{6}{5} \int \sqrt[5]{x} d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{6}{5} \int x^{\frac{1}{5}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $\frac{6}{5} (\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C)$ в виде $\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $\frac{6}{5}$ на $\frac{5}{6}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 6} x^{\frac{6}{5}} + C$

Этап 7.2.2

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{30}{5 \cdot 6} x^{\frac{6}{5}} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $5$ на $6$ .

$\frac{30}{30} x^{\frac{6}{5}} + C$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{30}{30} x^{\frac{6}{5}} + C$

Этап 7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$1 x^{\frac{6}{5}} + C$

Этап 7.2.5

Умножим $x^{\frac{6}{5}}$ на $1$ .

$x^{\frac{6}{5}} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \sqrt[5]{x}$ .

$F (x) =$ $x^{\frac{6}{5}} + C$