Математический анализ Примеры

$\sec^{2} (10 x)$

Этап 1

Запишем $\sec^{2} (10 x)$ в виде функции.

$f (x) = \sec^{2} (10 x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sec^{2} (10 x) d x$

Этап 4

Пусть $u = 10 x$ . Тогда $d u = 10 d x$ , следовательно $\frac{1}{10} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 10 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $10 x$ .

$\frac{d}{d x} [10 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $10$ на $1$ .

$10$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{10} d u$

Этап 5

Объединим $\sec^{2} (u)$ и $\frac{1}{10}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{10} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{10}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{10}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{10} \int \sec^{2} (u) d u$

Этап 7

Поскольку производная $\tan (u)$ равна $\sec^{2} (u)$ , интеграл $\sec^{2} (u)$ равен $\tan (u)$ .

$\frac{1}{10} (\tan (u) + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{10} \tan (u) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $10 x$ .

$\frac{1}{10} \tan (10 x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sec^{2} (10 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{10} \tan (10 x) + C$