Математический анализ Примеры

$\sin^{5} (x)$

Этап 1

Запишем $\sin^{5} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \sin^{5} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin^{5} (x) d x$

Этап 4

Вынесем $\sin^{4} (x)$ за скобки.

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Этап 5.2

Перепишем ${\sin (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Этап 6

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (x)$ в виде $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Этап 7

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 7.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Этап 9

Развернем ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем ${(1 - u^{2})}^{2}$ в виде $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Этап 9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 9.5

Перенесем $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Этап 9.6

Перенесем $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 9.7

Умножим $1$ на $1$ .

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 9.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 9.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 9.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Этап 9.11

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 9.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 9.13

Добавим $2$ и $2$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Этап 9.14

Вычтем $u^{2}$ из $- u^{2}$ .

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Этап 9.15

Изменим порядок $- 2 u^{2}$ и $u^{4}$ .

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Этап 9.16

Перенесем $1$ .

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Этап 12

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

Этап 13

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Этап 15.1.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Этап 15.2

Упростим.

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$