Математический анализ Примеры

$\cos^{3} (x)$

Этап 1

Запишем $\cos^{3} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \cos^{3} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \cos^{3} (x) d x$

Этап 4

Вынесем $\cos^{2} (x)$ за скобки.

$\int \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (x)$ в виде $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Этап 6

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 6.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$u + C - \int u^{2} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 11

Упростим.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \cos^{3} (x)$ .

$F (x) =$ $\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) + C$