Математический анализ Примеры

$f (p) = 4 {(p^{2} - 5)}^{3} (2 p)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (p)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (p)$ .

$F (p) = \int f (p) d p$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (p) = \int 4 {(p^{2} - 5)}^{3} (2 p) d p$

Этап 3

Умножим $2$ на $4$ .

$\int 8 {(p^{2} - 5)}^{3} p d p$

Этап 4

Поскольку $8$ — константа по отношению к $p$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int {(p^{2} - 5)}^{3} p d p$

Этап 5

Пусть $u = p^{2} - 5$ . Тогда $d u = 2 p d p$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = p d p$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = p^{2} - 5$ . Найдем $\frac{d u}{d p}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $p^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2} - 5]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $p^{2} - 5$ по $p$ имеет вид $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 5]$ .

$\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [- 5]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ имеет вид $n p^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 p + \frac{d}{d p} [- 5]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $p$ , производная $- 5$ относительно $p$ равна $0$ .

$2 p + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $2 p$ и $0$ .

$2 p$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$8 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Этап 6

Объединим $u^{3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\frac{8}{2} \int u^{3} d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u^{3} d u$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u^{3} d u$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} \int u^{3} d u$

Этап 8.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \int u^{3} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $4 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ в виде $4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$4 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4} u^{4} + C$

Этап 10.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{4} + C$

Этап 10.2.3

Умножим $u^{4}$ на $1$ .

$u^{4} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $p^{2} - 5$ .

${(p^{2} - 5)}^{4} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (p) = 4 {(p^{2} - 5)}^{3} (2 p)$ .

$F (p) =$ ${(p^{2} - 5)}^{4} + C$