Математический анализ Примеры

$- 2 x - 4 x^{2}$

Этап 1

Запишем $- 2 x - 4 x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = - 2 x - 4 x^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int - 2 x - 4 x^{2} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 2 x d x + \int - 4 x^{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- 2 \int x d x + \int - 4 x^{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 x^{2} d x$

Этап 7

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 \int x^{2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} x^{2} - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 9.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 9.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 9.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} x^{2} - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 9.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- x^{2} - 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 9.2.3

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$- x^{2} + \frac{- 4}{3} x^{3} + C$

Этап 9.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x^{2} - \frac{4}{3} x^{3} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = - 2 x - 4 x^{2}$ .

$F (x) =$ $- x^{2} - \frac{4}{3} x^{3} + C$