Математический анализ Примеры

$\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 1

Запишем $\sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sqrt[3]{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int x^{\frac{1}{3}} d x + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 7.2

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 7.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 7.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 7.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 9

Упростим.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$