Математический анализ Примеры

$5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$

Этап 1

Запишем $5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$ в виде функции.

$f (x) = 5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5 {(4 x - 3)}^{4} (4) d x$

Этап 4

Умножим $4$ на $5$ .

$\int 20 {(4 x - 3)}^{4} d x$

Этап 5

Поскольку $20$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $20$ из-под знака интеграла.

$20 \int {(4 x - 3)}^{4} d x$

Этап 6

Пусть $u = 4 x - 3$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 4 x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $4 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 3]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $4 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 6.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 6.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 6.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$20 \int u^{4} \frac{1}{4} d u$

Этап 7

Объединим $u^{4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$20 \int \frac{u^{4}}{4} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$20 (\frac{1}{4} \int u^{4} d u)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $20$ .

$\frac{20}{4} \int u^{4} d u$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $20$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} \int u^{4} d u$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 (1)} \int u^{4} d u$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 1} \int u^{4} d u$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{1} \int u^{4} d u$

Этап 9.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$5 \int u^{4} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$5 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $5 (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ в виде $5 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$ .

$5 (\frac{1}{5}) u^{5} + C$

Этап 11.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} u^{5} + C$

Этап 11.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{5} u^{5} + C$

Этап 11.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{5} + C$

Этап 11.2.3

Умножим $u^{5}$ на $1$ .

$u^{5} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 3$ .

${(4 x - 3)}^{5} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5 {(4 x - 3)}^{4} (4)$ .

$F (x) =$ ${(4 x - 3)}^{5} + C$