Математический анализ Примеры

$4 \cos (8 x)$

Этап 1

Запишем $4 \cos (8 x)$ в виде функции.

$f (x) = 4 \cos (8 x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 4 \cos (8 x) d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \cos (8 x) d x$

Этап 5

Пусть $u = 8 x$ . Тогда $d u = 8 d x$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 8 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $8$ на $1$ .

$8$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int \cos (u) \frac{1}{8} d u$

Этап 6

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{8}$ .

$4 \int \frac{\cos (u)}{8} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{8} \int \cos (u) d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $4$ .

$\frac{4}{8} \int \cos (u) d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (1)}{8} \int \cos (u) d u$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Этап 9

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{2} \sin (u) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $8 x$ .

$\frac{1}{2} \sin (8 x) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 4 \cos (8 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \sin (8 x) + C$