Математический анализ Примеры

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Этап 1

Запишем $4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ в виде функции.

$f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Этап 5

Пусть $u = 3 x^{4} + 3$ . Тогда $d u = 12 x^{3} d x$ , следовательно $\frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 3 x^{4} + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 3]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $3 x^{4} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $12 x^{3}$ и $0$ .

$12 x^{3}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int u^{9} \frac{1}{12} d u$

Этап 6

Объединим $u^{9}$ и $\frac{1}{12}$ .

$4 \int \frac{u^{9}}{12} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{12}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{12}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{12} \int u^{9} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{12}$ и $4$ .

$\frac{4}{12} \int u^{9} d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (1)}{12} \int u^{9} d u$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \int u^{9} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{9}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 10} u^{10} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $3$ на $10$ .

$\frac{1}{30} u^{10} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$