Математический анализ Примеры

$3 \sqrt{x} - x$

Этап 1

Запишем $3 \sqrt{x} - x$ в виде функции.

$f (x) = 3 \sqrt{x} - x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 3 \sqrt{x} - x d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 \sqrt{x} d x + \int - x d x$

Этап 5

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \sqrt{x} d x + \int - x d x$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - x d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - x d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - \int x d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 10.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 10.2.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 3 \sqrt{x} - x$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$