Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{8}{x^{7}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{8}{x^{7}} d x$

Этап 3

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \frac{1}{x^{7}} d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{7}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$8 \int {(x^{7})}^{- 1} d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{7})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int x^{7 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$8 \int x^{- 7} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 7}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{6} x^{- 6}$ .

$8 (- \frac{1}{6} x^{- 6} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $x^{- 6}$ и $\frac{1}{6}$ .

$8 (- \frac{x^{- 6}}{6} + C)$

Этап 6.1.2

Перенесем $x^{- 6}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C)$

Этап 6.2

Упростим.

$8 (- \frac{1}{6 x^{6}}) + C$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 \frac{1}{6 x^{6}} + C$

Этап 6.3.2

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{6 x^{6}}$ .

$\frac{- 8}{6 x^{6}} + C$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель $- 8$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$\frac{2 (- 4)}{6 x^{6}} + C$

Этап 6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x^{6}$ .

$\frac{2 (- 4)}{2 (3 x^{6})} + C$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 (3 x^{6})} + C$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{3 x^{6}} + C$

Этап 6.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{3 x^{6}} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{8}{x^{7}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{3 x^{6}} + C$