Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{7 x} d x + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = 7 x$ . Тогда $d u_{1} = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = 7 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Этап 5

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Этап 7

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Этап 8

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (3 x) d x$

Этап 9

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Тогда $d u_{2} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 9.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 10

Объединим $\sec^{2} (u_{2})$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{3} d u_{2}$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 (\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{3}$ и $5$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Этап 13

Поскольку производная $\tan (u_{2})$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ , интеграл $\sec^{2} (u_{2})$ равен $\tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} (\tan (u_{2}) + C)$

Этап 14

Упростим.

$\frac{1}{7} e^{u_{1}} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $7 x$ .

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$