Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{7}{x^{6}} + \frac{1}{3}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int - \frac{7}{x^{6}} + \frac{1}{3} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \frac{7}{x^{6}} d x + \int \frac{1}{3} d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{7}{x^{6}} d x + \int \frac{1}{3} d x$

Этап 5

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$- (7 \int \frac{1}{x^{6}} d x) + \int \frac{1}{3} d x$

Этап 6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$- 7 \int \frac{1}{x^{6}} d x + \int \frac{1}{3} d x$

Этап 6.2

Вынесем $x^{6}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 7 \int {(x^{6})}^{- 1} d x + \int \frac{1}{3} d x$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \int x^{6 \cdot - 1} d x + \int \frac{1}{3} d x$

Этап 6.3.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$- 7 \int x^{- 6} d x + \int \frac{1}{3} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 6}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- 7 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int \frac{1}{3} d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $x^{- 5}$ и $\frac{1}{5}$ .

$- 7 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int \frac{1}{3} d x$

Этап 8.2

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int \frac{1}{3} d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 7 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \frac{1}{3} x + C$

Этап 10

Упростим.

$\frac{7}{5 x^{5}} + \frac{1}{3} x + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = - \frac{7}{x^{6}} + \frac{1}{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{7}{5 x^{5}} + \frac{1}{3} x + C$