Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}} d x$

Этап 3

Вынесем $x^{6}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

Этап 4

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

Этап 4.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\int (5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6} d x$

Этап 5

Развернем $(5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}) x^{- 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (5 - 4 x^{3}) x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3} x^{- 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{3 - 6} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Этап 5.4

Вычтем $6$ из $3$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6} x^{- 6} d x$

Этап 5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{6 - 6} d x$

Этап 5.6

Вычтем $6$ из $6$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 x^{0} d x$

Этап 5.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 \cdot 1 d x$

Этап 5.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\int 5 x^{- 6} - 4 x^{- 3} + 2 d x$

Этап 5.9

Изменим порядок $5 x^{- 6}$ и $- 4 x^{- 3}$ .

$\int - 4 x^{- 3} + 5 x^{- 6} + 2 d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 4 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Этап 7

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$- 4 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Этап 9.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Этап 10

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{- 6} d x + \int 2 d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- 6}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 2 d x$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $x^{- 5}$ и $\frac{1}{5}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 2 d x$

Этап 12.2

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 2 d x$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 2 x + C$

Этап 14

Упростим.

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{5 - 4 x^{3} + 2 x^{6}}{x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{5}} + 2 x + C$