Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3

Изменим порядок $2$ и $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} + 2}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Изменим порядок $1$ и $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Разделим $x^{2} + 2$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0 + 1$ .

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									+	$1$

Этап 5.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$x + C + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 8.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x + C + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$x + C + \arctan (x) + C$

Этап 10

Упростим.

$x + \arctan (x) + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $x + \arctan (x) + C$