Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{3 x^{2}} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int x^{- 2} d x + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \int \frac{5}{4 x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{5}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 8.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 8.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} \int x^{- 3} d x + \int \sqrt{x} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \sqrt{x} d x$

Этап 10

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C) + \frac{5}{4} (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 12

Упростим.

$- \frac{2}{3 x} - \frac{5}{8 x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2}{3 x^{2}} + \frac{5}{4 x^{3}} + \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{3 x} - \frac{5}{8 x^{2}} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$