Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + 2 x$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{2} + 2 x d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 x d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 \int x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Этап 7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C$

Этап 7.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C$