Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{3} - 4 x^{2} + 4 x d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{3} d x + \int - 4 x^{2} d x + \int 4 x d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - 4 x^{2} d x + \int 4 x d x$

Этап 5

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x d x$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 \int x d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $4$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{2}}{2} + C$

Этап 9.2.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 (2 x^{2})}{2} + C$

Этап 9.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + C$

Этап 9.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Этап 9.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{1} + C$

Этап 9.2.3.2.4

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} + 2 x^{2} + C$