Математический анализ Примеры

$f (x) = (3 x - 5) (2 x + 4)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (3 x - 5) (2 x + 4) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 3 x (2 x + 4) - 5 (2 x + 4) d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 3 x (2 x) + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x + 4) d x$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 3 x (2 x) + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Этап 3.4

Перенесем $x$ .

$\int 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot 4 - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Этап 3.5

Перенесем $x$ .

$\int 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 \cdot 4 x - 5 (2 x) - 5 \cdot 4 d x$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $2$ .

$\int 6 x \cdot x + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Этап 3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 6 (x^{1} x) + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Этап 3.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 6 (x^{1} x^{1}) + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Этап 3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Этап 3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 6 x^{2} + 3 \cdot 4 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Этап 3.11

Умножим $3$ на $4$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 5 \cdot 2 x - 5 \cdot 4 d x$

Этап 3.12

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 10 x - 5 \cdot 4 d x$

Этап 3.13

Умножим $- 5$ на $4$ .

$\int 6 x^{2} + 12 x - 10 x - 20 d x$

Этап 3.14

Вычтем $10 x$ из $12 x$ .

$\int 6 x^{2} + 2 x - 20 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 6 x^{2} d x + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Этап 5

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int x^{2} d x + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x + \int - 20 d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x + \int - 20 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 20 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 20 x + C$

Этап 10.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 20 x + C$

Этап 10.2

Упростим.

$2 x^{3} + x^{2} - 20 x + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (3 x - 5) (2 x + 4)$ .

$F (x) =$ $2 x^{3} + x^{2} - 20 x + C$