Математический анализ Примеры

$f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x) d x$

Этап 3

Пусть $u_{2} = \cot (π x)$ . Тогда $d u_{2} = - π \csc^{2} (π x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{π} d u_{2} = \csc^{2} (π x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{2} = \cot (π x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\cot (π x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (π x)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = π x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $π x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

Этап 3.1.2.2

Производная $\cot (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

Этап 3.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $π x$ .

$- \csc^{2} (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \csc^{2} (π x) (π \cdot 1)$

Этап 3.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Умножим $π$ на $1$ .

$- \csc^{2} (π x) π$

Этап 3.1.3.3.2

Изменим порядок множителей в $- \csc^{2} (π x) π$ .

$- π \csc^{2} (π x)$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Этап 4

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\int (- π - e^{u_{2}}) \frac{1}{π} d u_{2}$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{π} \int - π - e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{π} (\int - π d u_{2} + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 9

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{π} (- π u_{2} + C - (e^{u_{2}} + C))$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{π} (- π u_{2} - e^{u_{2}}) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x) - e^{\cot (π x)}) + C$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{π} (- π \cot (π x)) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Этап 12.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем множитель $π$ из $- π \cot (π x)$ .

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π (- \cot (π x))) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Этап 12.2.3

Перепишем это выражение.

$- \cot (π x) + \frac{1}{π} (- e^{\cot (π x)}) + C$

Этап 12.3

Объединим $\frac{1}{π}$ и $e^{\cot (π x)}$ .

$- \cot (π x) - \frac{e^{\cot (π x)}}{π} + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (π + e^{\cot (π x)}) \csc^{2} (π x)$ .

$F (x) =$ $- \cot (π x) - \frac{1}{π} e^{\cot (π x)} + C$