Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x) d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (2 x) d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5

Объединим $\sin^{2} (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{8} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 8

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{1}{16} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 11

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{16} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 13

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 14

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 14.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 14.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 14.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 14.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Этап 15

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Этап 16

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Этап 17

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{16} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Этап 18

Упростим.

$\frac{1}{16} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Этап 19

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Этап 19.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Этап 19.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Этап 20.1.2

Объединим $\sin (4 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Этап 20.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Этап 20.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Этап 20.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{1}{2 (8)} (2 (x)) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Этап 20.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 8} (2 x) + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Этап 20.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Этап 20.4

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Этап 20.5

Умножим $\frac{1}{16} (- \frac{\sin (4 x)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.5.1

Умножим $\frac{1}{16}$ на $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{16 \cdot 2} + C$

Этап 20.5.2

Умножим $16$ на $2$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

Этап 21

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$

Этап 22

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{4} \cdot \sin^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$