Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{2 x} - e^{3 x}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{2 x} - e^{3 x} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int - e^{3 x} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - e^{3 x} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int - e^{3 x} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int e^{3 x} d x$

Этап 7

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 8

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Этап 10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) - \frac{1}{3} (e^{u} + C)$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{3} e^{u} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{3} e^{3 x} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{2 x} - e^{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{3} e^{3 x} + C$