Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2} d x + \int \frac{3}{4} x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x + C + \int \frac{3}{4} x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{3}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} \int x^{2} d x + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{4}{5} x^{3} d x$

Этап 7

Поскольку $- \frac{4}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{4}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{4}{5} \int x^{3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} x + C + \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4}{5} (\frac{1}{4} x^{4}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{x^{4}}{4} + C$

Этап 9.2.2

Умножим $\frac{x^{4}}{4}$ на $\frac{4}{5}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4} \cdot 4}{4 \cdot 5} + C$

Этап 9.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4} \cdot 4}{20} + C$

Этап 9.2.4

Перенесем $4$ влево от $x^{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 \cdot x^{4}}{20} + C$

Этап 9.2.5

Сократим общий множитель $4$ и $20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{4}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 (x^{4})}{20} + C$

Этап 9.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 x^{4}}{4 \cdot 5} + C$

Этап 9.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{4 x^{4}}{4 \cdot 5} + C$

Этап 9.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{2} + \frac{x^{3}}{4} - \frac{x^{4}}{5} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{5} x^{4} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} x^{2} - \frac{4}{5} x^{3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^{3} - \frac{1}{5} x^{4} + C$