Математический анализ Примеры

$g (x) = - 4 \cos (4 x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $G (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $g (x)$ .

$G (x) = \int g (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$G (x) = \int - 4 \cos (4 x) d x$

Этап 3

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$- 4 \int \cos (4 x) d x$

Этап 4

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 4.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- 4 \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

Этап 5

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{4}$ .

$- 4 \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$- 4 (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 4$ .

$\frac{- 4}{4} \int \cos (u) d u$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4} \int \cos (u) d u$

Этап 7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} \int \cos (u) d u$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} \int \cos (u) d u$

Этап 7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} \int \cos (u) d u$

Этап 7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \int \cos (u) d u$

Этап 8

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- (\sin (u) + C)$

Этап 9

Упростим.

$- \sin (u) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$- \sin (4 x) + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $g (x) = - 4 \cos (4 x)$ .

$G (x) =$ $- \sin (4 x) + C$