Математический анализ Примеры

$v (t) = 30 (25 - t^{2})$

Этап 1

Чтобы найти функцию $V (t)$ , найдем неопределенный интеграл производной $v (t)$ .

$V (t) = \int v (t) d t$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$V (t) = \int 30 (25 - t^{2}) d t$

Этап 3

Умножим $30 (25 - t^{2})$ .

$\int 30 \cdot 25 + 30 (- t^{2}) d t$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $30$ на $25$ .

$\int 750 + 30 (- t^{2}) d t$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $30$ .

$\int 750 - 30 t^{2} d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 750 d t + \int - 30 t^{2} d t$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$750 t + C + \int - 30 t^{2} d t$

Этап 7

Поскольку $- 30$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 30$ из-под знака интеграла.

$750 t + C - 30 \int t^{2} d t$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$750 t + C - 30 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$750 t - 30 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $- 30$ и $\frac{1}{3}$ .

$750 t + \frac{- 30}{3} t^{3} + C$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $- 30$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 30$ .

$750 t + \frac{3 \cdot - 10}{3} t^{3} + C$

Этап 9.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$750 t + \frac{3 \cdot - 10}{3 (1)} t^{3} + C$

Этап 9.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$750 t + \frac{3 \cdot - 10}{3 \cdot 1} t^{3} + C$

Этап 9.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$750 t + \frac{- 10}{1} t^{3} + C$

Этап 9.2.2.2.4

Разделим $- 10$ на $1$ .

$750 t - 10 t^{3} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $v (t) = 30 (25 - t^{2})$ .

$V (t) =$ $750 t - 10 t^{3} + C$