Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 8 \sqrt{x} d x + \int 5 \cos (x) d x$

Этап 4

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \sqrt{x} d x + \int 5 \cos (x) d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 5 \cos (x) d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 5 \cos (x) d x$

Этап 7

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 \int \cos (x) d x$

Этап 8

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$8 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 5 (\sin (x) + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$8 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $8$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

Этап 9.2.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{16}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 8 \sqrt{x} + 5 \cos (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{16}{3} x^{\frac{3}{2}} + 5 \sin (x) + C$