Математический анализ Примеры

$f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \sqrt{7 x^{2} + 2} d x$

Этап 3

Пусть $u = 7 x^{2} + 2$ . Тогда $d u = 14 x d x$ , следовательно $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 7 x^{2} + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 2]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $7 x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $2$ на $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$14 x + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $14 x$ и $0$ .

$14 x$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{14} d u$

Этап 4

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{14} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{14}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{14}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{14} \int \sqrt{u} d u$

Этап 6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{14} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{1}{14} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{14} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{14}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{14 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $14$ на $3$ .

$\frac{2}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{42} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $42$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 8.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{21} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $7 x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \sqrt{7 x^{2} + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{21} {(7 x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$