Математический анализ Примеры

$g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $G (t)$ , найдем неопределенный интеграл производной $g (t)$ .

$G (t) = \int g (t) d t$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$G (t) = \int \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Этап 4

Вынесем $t^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (1 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Этап 5

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int (1 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 6

Развернем $(1 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (1 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 6.3

Умножим $t^{- \frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 6.4

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 6.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 6.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 6.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 6.8

Вычтем $1$ из $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Этап 6.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Этап 6.10

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Этап 6.11

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Этап 6.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Этап 6.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.13.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Этап 6.13.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\int t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 8

По правилу степени интеграл $t^{- \frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 9

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Этап 10

По правилу степени интеграл $t^{\frac{3}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} + C + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 11

Упростим.

$2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $g (t) = \frac{1 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ .

$G (t) =$ $2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$