Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 6$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 \sqrt{x} + 6 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 \sqrt{x} d x + \int 6 d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sqrt{x} d x + \int 6 d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 6 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 6 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 6 x + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + 6 x + C$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 6 x + C$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 6 x + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 \sqrt{x} + 6$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 6 x + C$