Математический анализ Примеры

$\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Этап 4

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$10 \int \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Этап 5

Пусть $u = 3 - 5 x$ . Тогда $d u = - 5 d x$ , следовательно $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 3 - 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $3 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$0 - 5$

Этап 5.1.4

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 5$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$10 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Этап 6.2

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{5}$ .

$10 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Этап 6.3

Перенесем $5$ влево от $u^{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$10 (- \int \frac{1}{5 u^{2}} d u)$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- 10 (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 10$ .

$\frac{- 10}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 10.1.2

Сократим общий множитель $- 10$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $- 10$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 10.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 \cdot - 2}{5 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 10.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 10.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 10.1.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 10.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 10.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 10.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем $- 2 (- u^{- 1} + C)$ в виде $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

Этап 12.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $3 - 5 x$ .

$\frac{2}{3 - 5 x} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{10}{{(3 - 5 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3 - 5 x} + C$